见《数学物理方程》第八章 陈才生主编 东南大学出版社贝塞尔（1784～1846）
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Bessel，Friedrich Wilhelm
德国天文学家，数学家 。1784 年7 月22日生于明登 ，1846 年3月17日卒于柯尼斯堡。15岁辍学到不来梅一家商行学徒，业余学习天文、地理和数学。20岁时发表了有关彗星轨道测量的论文。1810年任新建的柯尼斯堡天文台台长，直至逝世。1812年当选为柏林科学院院士。贝塞尔的主要贡献在天文学，以《天文学基础》（1818）为标志发展了实验天文学 ，还编制基本星表 ，测定恒星视差， 预言伴星的存在，导出用于天文计算的贝塞尔公式，较精确地计算出岁差常数等几个天文常数值，还编制大气折射表和大气折射公式，以修正其对天文观测的影响。他在数学研究中提出了贝塞尔函数，讨论了该函数的一系列性质及其求值方法，为解决物理学和天文学的有关问题提供了重要工具。此外，他在大地测量学方面也做出一定贡献，提出贝塞尔地球椭球体等观点。
首先，据说Mathematica(下面简称Mma)是世界上最复杂的软件系统，我暂时也是这么认为的。。为什么？后面我会慢慢解释。
其次，我想说的是，我为什么喜欢Mma，不仅因为它强大(因为复杂？)，更因为我觉得是交互上最好的一款系统；
友好度(前篇)：输入
我觉得很多人是不是都受够了各种语言(C++,Python，Matlab，JS,PHP，好吧，指的基本上是所有的语言)里面的算式输入，比如说你必须写乘号，一个算式里面又乘又加又除又指数的时候你看代码难道不难受么？感受一下。。
1
(x+2^(3+a/d^i))/sqrt(x^(y+z)*(3+3/d))
这时候你会想，如果写出来像手写那种就好了，是吧~Mma所支持的最让人喜欢的一个特性就是，公式和你手写的差不多！！
除号，开n次方，Σ求导，偏微分，积分，相乘，各种希腊字符，没错，这是一门编程语言！！不是Word或者PDF！！【顺便提醒感受一下最后一个例子】
如果有看过之前那篇《Mathematica给图片去水印》的话，就可以体会到另一件事情：图片本身就可以作为参数传进函数里面【别的语言都是先把图片保存在本地，程序设置一个img变量，imgread读取图片，然后再处理】；
再举一个例子，以前的博文《生命游戏兰顿蚂蚁》中，我从维基娘那里找到一张图片：
然后我希望得到一个二维矩阵，大小就是上面这张图的横宽格子数，如果这个格子里面是黑色，那么这个位置的值是1，否则为0，那么我可以把图片本身当做参数传进代码里面，这样就省去了保存到本地，再读取的步骤。
这种交互方式你不觉得简直人性化到极点了么？
强大
友好的交互不能体现一款软件的强大！！但是上面计算∑i=1∞1i2自动算出π26不知道让各位体会到Mma的强大没。
再举几个例子，首先是两个简单的例子：
然后再看看复杂一点的，我以前很喜欢用Mma来做很数学的课的作业是因为它算这种东西毫无压力：
再看一个例子体会一下：
这就是为什么Mma表达式计算可以完爆Matlab十万光年的原因，Again，还是没有黑Matlab的意思。。因为你不能以己之长，较人之短嘛。。
好，如果你手上有一个很强大的表达式计算工具，你会想到什么？没错，推公式/验证公式！！(某师兄怒躺一枪)第一个例子可以去看看以前的那篇倒立摆的博文的前面部分体会一下~
再随手写些例子，比如验证公式，例子虽然简单，但是强大是不言而喻的：
再比如化简公式之类的：
或者三角恒等式：
Mma自带了解大部分恒等式化简规则，但是对于有些Mma无法解读的那些，你可以自己写规则告诉它，然后再用这些规则去推别的公式，比如众所周知的，我们可以把sin(cos(x))展开成一系列贝塞尔函数的和的这种法则，写下这套规则后你就可以去推那些载波啊什么的相关公式了。【好吧，我知道这一段看懂的人不多。。所以我就不举例子了。。】
Mma的表达式支持的那么好，而且交互那么友善，自然分段函数这种东西应该毫无压力不是么？
请问你家Matlab是怎么完成分段函数的？再次重申，没有黑matlab的意思。。不信的话我换一句咯。。请问你家汇编是怎么完成分段函数的？
Mma还有一个很强大的功能，就是带单位的计算，比如说吧：
嘿，你说我大Matlab也可以实现啊，只要记住各个单位之间的比例就可以了啊，且看这个例子：
请问Matlab先生你懂什么事字符串相除，字符串相乘么？
不过单位支持是9.0版本以后的新特性了，相信装了9.0的对下面这幅图都不陌生吧：
最后再关于表达式计算我再讲一个例子，
看到没，Mma在推导公式的时候，会计算出公式成立的条件！！相反的，你也可以在输入的时候就告诉它参数的条件，这样可以在某些复杂情况下降低计算时间。
函数式编程
我一直很喜欢Python的一个原因在于它对函数式编程的支持很简洁，每次用起来我都很有成就感，比如map，reduce，filter这几个函数在做Euler Project的时候我简直爱不释手
双精度计算第一类零阶贝塞尔函数：
FUNCTION bessj0(x)
REAL bessj0,x
REAL ax,xx,z
DOUBLE PRECISION p1,p2,p3,p4,p5,q1,q2,q3,q4,q5,
r1,r2,r3,r4,r5,r6,s1,s2,s3,s4,s5,s6,y
SAVE p1,p2,p3,p4,p5,q1,q2,q3,q4,q5,r1,r2,r3,r4,r5,r6,
s1,s2,s3,s4,s5,s6
DATA p1,p2,p3,p4,p5/1.d0,-.1098628627d-2,.2734510407d-4,
-.2073370639d-5,.2093887211d-6/, q1,q2,q3,q4,q5
/-.1562499995d-1,.1430488765d-3,-.6911147651d-5,
.7621095161d-6,-.934945152d-7/
DATA r1,r2,r3,r4,r5,r6/57568490574.d0,-13362590354.d0,
651619640.7d0,-11214424.18d0,77392.33017d0,
-184.9052456d0/,s1,s2,s3,s4,s5,s6/57568490411.d0,
1029532985.d0,9494680.718d0,59272.64853d0,
267.8532712d0,1.d0/
if(abs(x)8.) then
y=x**2
bessj0=(r1+y*(r2+y*(r3+y*(r4+y*(r5+y*r6)))))/
(s1+y*(s2+y*(s3+y*(s4+y*(s5+y*s6)))))
else
ax=abs(x)
z=8./ax
y=z**2
xx=ax-.785398164
bessj0=sqrt(.636619772/ax)*(cos(xx)*(p1+y*(p2+y*
(p3+y*(p4+y*p5))))-z*sin(xx)*(q1+y*(q2+y*
(q3+y*(q4+y*q5)))))
endif
END FUNCTION bessj0
简单举几个例子。可以说，只要出现二阶偏微分方程，就容易出现（各种几何下）自伴算子的本征值问题，也就容易出现这些货色。贝塞尔函数是柱面波的常用基。比如，盘状星系的引力势常用贝塞尔函数展开。进一步地，盘状星系乃至很多盘状结构的讨论中，都要深度使用它们。二维圆孔的傅立叶变换是艾里函数，它其实是三分之一阶贝塞尔函数。特殊地，球贝塞尔函数是平面波按球面波展开的系数，所以量子力学里按分波法处理散射时会用上它。椭圆函数及其反函数相关的，我知道的是这个：克尔黑洞附近的光子轨迹。顺便一说，引入椭圆函数/积分后，这个问题是有解析解的，相关的工作人员包括了 Kip Throne。超几何函数是个流氓，可以变身为许多许多特殊函数… 两个奇点合流之后的合流超几何函数，解过氢原子的懂。问题来了。题主不像个对此完全无知的人；能说出这些名词的人，一般是学过的。难道老师讲它们的时候完全不讲应用？不过，若是想借此消遣，推荐题主想一下勒让德函数递推关系与角动量之间的联系。
贝塞尔函数
Bessel functions
利用柱坐标求解涉及在圆、球与圆柱内的势场的物理问题时出现的一类特殊函数.又称标函数.用柱坐标解拉普拉斯方程时,用到贝塞尔函数,它们和其他函数组合成柱调和函数.除初等函数外,在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数,它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名,他在1824年第一次描述过它们.贝塞尔函数最早出现在涉及如悬链振荡,长圆柱体冷却以及紧张膜振动的问题中.贝塞尔函数的一族,也称第一类贝塞尔函数,记作Jn（x）,用x的偶次幂的无穷和来定义,数 n称为贝塞尔函数的阶,它依赖于函数所要解决的问题.J0 （x）的图形像衰减的余弦曲线,J1（x）像衰减的正弦曲线(见图).第二类贝塞尔函数(又称诺伊曼函数),记作Yn（x）,它由第一类贝塞尔函数的简单组合来定义.第三类贝塞尔函数（亦称汉克尔函数）定义为Hn＝Jn±iYn,其中i为虚数,用n阶(正或负)贝塞尔函数可解称为贝塞尔方程的微分方程.
贝塞尔函数是数学上的一类特殊函数的总称.贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了,当时引起了数学界的兴趣.
丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利,欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献.1817年,德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时,第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架,后人以他的名字来命名了这种函数.
利用柱坐标求解涉及在圆、球与圆柱内的势场的物理问题时出现的一类特殊函数.又称标函数.用柱坐标解拉普拉斯方程时,用到贝塞尔函数,它们和其他函数组合成柱调和函数.除初等函数外,在物理和工程中贝塞尔函数是最常用的函数,它们以19世纪德国天文学家F.W.贝塞尔的姓氏命名,他在1824年第一次描述过它们.贝塞尔函数最早出现在涉及如悬链振荡,长圆柱体冷却以及紧张膜振动的问题中.贝塞尔函数的一族,也称第一类贝塞尔函数,记作Jn（x）,用x的偶次幂的无穷和来定义,数 n称为贝塞尔函数的阶,它依赖于函数所要解决的问题.J0 （x）的图形像衰减的余弦曲线,J1（x）像衰减的正弦曲线(见图).第二类贝塞尔函数(又称诺伊曼函数),记作Yn（x）.当n为非整数时,Yn(x)可以由第一类贝塞尔函数的简单组合来定义；当n为整数时,Yn(x)不能由第一类贝塞尔函数的简单组合得到,此时需要通过一个求极限过程来计算函数值.第三类贝塞尔函数（亦称汉克尔函数）定义为Hn＝Jn±iYn,其中i为虚数,用n阶(正或负)贝塞尔函数可解称为贝塞尔方程的微分方程.
历史
贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔·伯努利在研究悬链振动时提出了,当时引起了数学界的兴趣.丹尼尔的叔叔雅各布·伯努利,欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献.1817年,德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时,第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架,后人以他的名字来命名了这种函数
现实背景和应用范围
贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式 α = n；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式 α = n+½）,因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位,最典型的问题有：
* 在圆柱形波导中的电磁波传播问题；
* 圆柱体中的热传导问题；
* 圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；
在其他一些领域,贝塞尔函数也相当有用.譬如在信号处理中的调频合成（FM synthesis）或凯泽窗（Kaiser window）的定义中,都要用到贝塞尔函数.
通信原理 第四章 模拟角度调制(1) 单元概述 调频信号理论上具有无限宽的频带，实际应用中通常采用卡森公式计算其频带。调频信号占有频带宽，但抗噪声性能远优于线性调制，因而得到广泛应用。 单元学习提纲 （1）单频调制时，宽带调频信号的时域和频域表达式； （2）窄带调频信号的时域和频域表示，它与常规调幅信号的区别； （3）调频指数及频偏的定义和物理意义； （4）调频信号的解调方法； （5）AWGN信道中调频信号的抗噪声性能，了解信噪比增益与调频指数之间的关系； （6） 调频信号非相干解调时门限效应的物理解释； （7） 预加重/去加重改善信噪比的原理； （8） 改善门限效应的方法及基本原理； （9） 调频在广播、电视中的应用。 第四章 模拟角度调制 §4.1 基本概念 一.基本概念 1.非线性调制：频谱之间的非线性 2.相位调制(Phase Modulation,PM) 载波C(t)=Acos(ωct+Φ) 瞬时相位偏移 Φ=KPMf(t) ； 瞬时相位Φ(t)=KPMf(t)+Φ0 其中KPM—相移常数，取决于实现电路 时域表达式 ： SPM(t)=Acos[ωct+KPMf(t)] 第四章 模拟角度调制 §4.1 基本概念 一.基本概念 在第三章模拟线性调制中，已调信号的频谱与调制信号的频谱只存在线性对应关系（搬移）。 本章中介绍的模拟角度调制，是一种非线性调制，已调信号相对于调制信号有新的频率成分产生。 第四章 模拟角度调制 设一个未调载波 C(t)=Acos(�8�6c+�8�30) 振幅A， 频率f(角频率�8�6c) 相角(�8�6c+�8�30)（初相�8�30） 都可以携带信息，产生了调幅、调频和调相三种模拟调制方式。 第四章 模拟角度调制 在模拟通信中，常用调频方式，如调频收音机、电视伴音、卫星通信等。 在数字通信中，常采用调相方式，如PSK，QPSK等。 1. 频率调制(Frequency Modulation,FM) 定义：已调信号的瞬时角频率（或频率）随调制信号的幅度变化而变化。 时域表达式： SFM=Acos{[ωc+KFMf(t)]t} 频偏�8�5ω=KFMf(t) ； 瞬时角频率ω=ωc+KFMf(t) 频偏常数KFM 调频波的另一种时域表达式： 因瞬时角频率和瞬时相位角之间是微分和积分 的关系，即： 所以： 调频波的另一种时域表达式为： 2. 相位调制(Phase Modulation,PM) 定义：已调信号的瞬时相角（或初相）随调制信号的幅度变化而变化。 时域表达式： SPM=Acos[ωct+KPMf(t)] KFM称为相移常数 3.间接调相/调频 由于相位和频率互为微分和积分的关系, 可以用调频器来实现调相，称为间接调相。 也可以用调相器来实现调频，称为间接调频。 间接调相 间接调频 通常情况下，调相器的调节范围不能超过 （-�8�9，�8�9），所以直接调相和间接调频只适用于 窄带角度调制。 对于宽带角度调制，常用直接调频和间接 调相。 二. 单频余弦情况 调制信号f(t)=Amcosωmt 调相信号 调相指数βPM=KPMAm 调频信号 调频指数为�8�5FM 用瞬时角频率表示 式中�8�5�8�6max=KFMAM为最大角频偏。 §4.2 窄带角调制 根据调制后载波瞬时相位偏移的大小，可以将 角度调制分为宽带和窄带两种。 一.窄带调频 1.时域 根据三角函数公式,当满足窄带条件时,有 窄带调频信号可以表示为: 2. 频域 若调制信号f(t)的频谱为F（ω），f(t)的 平均值为0，即 则由傅氏变换理论可知 窄带调频信号的频域表达式为： 窄带调频与AM 信号的比较 以单频调制为例，f(t)=Amcosωmt 标准AM信号 ⑴两者都具有载波+两个边带： 单频——载频ωc、 上边频ωc+ωm、 下边频ωc-ωm ⑵两者有相同的带宽BNBFM=BAM=2fm ⑶标准AM 中，f(t)改变载波的幅度； 合成矢量永远与载波同相，ωm旋转变化 的结果不会造成载波频率的变化，只引起幅度 变化。 （4）窄带FM 改变的是载波的频率。 合成矢量永远与载波矢量垂直，ωm旋转变化 的结果造成载波频率变化，不改变载波幅度。 二. 窄带调相 时域 频域 窄带调相与常规调幅的比较 窄带调相与常规调幅相似，在它的频谱中 包括载频ωc和围绕ωc的两个边带。 窄带调相搬移到ωc位置的F（ω-ωc）要相移90O。 窄带调相搬移到-ωc位置的F（ω+ωc）要相移-90O。 §4.3 正弦信号调制时的宽带调频 设调制信号为单频余弦f(t)=Amcosωmt=Amcos2πfmt 其中，调频指数 对于不满足窄带条件的情况，三角函数近 似式不成立 §4.3 正弦信号调制时的宽带调频 表达式可以写成 下式可以展开成以贝塞尔函数为系数的三角级数 贝塞尔函数被制成表格数据或绘成曲线供工程查阅。 式中的系数被称为贝塞尔函数，可以用无穷 级数计算。 下式是用贝塞尔函数表示的宽带调频信号。 贝塞尔函数有如下性质： 即奇次谐波关于ω=ωc轴奇对称 偶次谐波关于ω=ωc轴偶对称 这相当于窄带调频。 对于任意�8�5FM值，各阶贝塞尔函数的平方和恒 等于1，即已调波的各次谐波能量之和等于载波能 量，满足能量守恒。 利用cosxcosy=[cos(x-y)+cos(x+y)]/2 sinxsiny= [cos(x-y)-cos(x+y)]/2 J-n(βFM)=(-1)nJn(βFM)有 结论:调频信号的频谱中含有无穷多个频率分量，其幅度正比于各自对应的贝塞尔系数。奇次谐波关于ω=ωc轴奇对称,偶次谐波关于ω=ωc轴偶对称 调频信号的带宽是无穷的。 二. 单频调制FM信号性质 1.宽带调频信号的频谱为载频+无穷多对对称分布在载频两边的边频分量。 2.由于贝塞尔系数的大小随阶数上升而下降，所以功率较大的频率分量主要集中在低阶频谱，可以只传输带宽βFM以内的信号。 一般认为|Jn(βFM)|≥0.01A的边频为有效谐波，式中A为未调载波幅度。 二. 单频调制FM 信号性质 3.能通过有效谐波的带宽为有效带宽。