Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
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Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表方式
用OPEN,CLOSE表的方式，其采用的是贪心法的算法策略，大概过程如下：
1.声明两个集合，open和close，open用于存储未遍历的节点，close用来存储已遍历的节点
2.初始阶段，将初始节点放入close，其他所有节点放入open
3.以初始节点为中心向外一层层遍历，获取离指定节点最近的子节点放入close并从新计算路径，直至close包含所有子节点
代码实例如下：
Node对象用于封装节点信息，包括名字和子节点
[java] view plain copy
public class Node {
private String name;
private MapNode,Integer child=new HashMapNode,Integer();
public Node(String name){
this.name=name;
}
public String getName() {
return name;
}
public void setName(String name) {
this.name = name;
}
public MapNode, Integer getChild() {
return child;
}
public void setChild(MapNode, Integer child) {
this.child = child;
}
}
MapBuilder用于初始化数据源，返回图的起始节点
[java] view plain copy
public class MapBuilder {
public Node build(SetNode open, SetNode close){
Node nodeA=new Node("A");
Node nodeB=new Node("B");
Node nodeC=new Node("C");
Node nodeD=new Node("D");
Node nodeE=new Node("E");
Node nodeF=new Node("F");
Node nodeG=new Node("G");
Node nodeH=new Node("H");
nodeA.getChild().put(nodeB, 1);
nodeA.getChild().put(nodeC, 1);
nodeA.getChild().put(nodeD, 4);
nodeA.getChild().put(nodeG, 5);
nodeA.getChild().put(nodeF, 2);
nodeB.getChild().put(nodeA, 1);
nodeB.getChild().put(nodeF, 2);
nodeB.getChild().put(nodeH, 4);
nodeC.getChild().put(nodeA, 1);
nodeC.getChild().put(nodeG, 3);
nodeD.getChild().put(nodeA, 4);
nodeD.getChild().put(nodeE, 1);
nodeE.getChild().put(nodeD, 1);
nodeE.getChild().put(nodeF, 1);
nodeF.getChild().put(nodeE, 1);
nodeF.getChild().put(nodeB, 2);
nodeF.getChild().put(nodeA, 2);
nodeG.getChild().put(nodeC, 3);
nodeG.getChild().put(nodeA, 5);
nodeG.getChild().put(nodeH, 1);
nodeH.getChild().put(nodeB, 4);
nodeH.getChild().put(nodeG, 1);
open.add(nodeB);
open.add(nodeC);
open.add(nodeD);
open.add(nodeE);
open.add(nodeF);
open.add(nodeG);
open.add(nodeH);
close.add(nodeA);
return nodeA;
}
}
图的结构如下图所示：
Dijkstra对象用于计算起始节点到所有其他节点的最短路径
[java] view plain copy
public class Dijkstra {
SetNode open=new HashSetNode();
SetNode close=new HashSetNode();
MapString,Integer path=new HashMapString,Integer();//封装路径距离
MapString,String pathInfo=new HashMapString,String();//封装路径信息
public Node init(){
//初始路径,因没有A-E这条路径,所以path(E)设置为Integer.MAX_VALUE
path.put("B", 1);
pathInfo.put("B", "A-B");
path.put("C", 1);
pathInfo.put("C", "A-C");
path.put("D", 4);
pathInfo.put("D", "A-D");
path.put("E", Integer.MAX_VALUE);
pathInfo.put("E", "A");
path.put("F", 2);
pathInfo.put("F", "A-F");
path.put("G", 5);
pathInfo.put("G", "A-G");
path.put("H", Integer.MAX_VALUE);
pathInfo.put("H", "A");
//将初始节点放入close,其他节点放入open
Node start=new MapBuilder().build(open,close);
return start;
}
public void computePath(Node start){
Node nearest=getShortestPath(start);//取距离start节点最近的子节点,放入close
if(nearest==null){
return;
}
close.add(nearest);
open.remove(nearest);
MapNode,Integer childs=nearest.getChild();
for(Node child:childs.keySet()){
if(open.contains(child)){//如果子节点在open中
Integer newCompute=path.get(nearest.getName())+childs.get(child);
if(path.get(child.getName())newCompute){//之前设置的距离大于新计算出来的距离
path.put(child.getName(), newCompute);
pathInfo.put(child.getName(), pathInfo.get(nearest.getName())+"-"+child.getName());
}
}
}
computePath(start);//重复执行自己,确保所有子节点被遍历
computePath(nearest);//向外一层层递归,直至所有顶点被遍历
}
public void printPathInfo(){
SetMap.EntryString, String pathInfos=pathInfo.entrySet();
for(Map.EntryString, String pathInfo:pathInfos){
System.out.println(pathInfo.getKey()+":"+pathInfo.getValue());
}
}
/**
* 获取与node最近的子节点
*/
private Node getShortestPath(Node node){
Node res=null;
int minDis=Integer.MAX_VALUE;
MapNode,Integer childs=node.getChild();
for(Node child:childs.keySet()){
if(open.contains(child)){
int distance=childs.get(child);
if(distanceminDis){
minDis=distance;
res=child;
}
}
}
return res;
}
}
Main用于测试Dijkstra对象
[java] view plain copy
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Dijkstra test=new Dijkstra();
Node start=test.init();
test.computePath(start);
test.printPathInfo();
}
}
Dijkstra算法
1.定义概览
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。（单源最短路径）
2.算法描述
1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。
2)算法步骤：
a.初始时，S只包含源点，即S＝{v}，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，即:U={其余顶点}，若v与U中顶点u有边，则u,v正常有权值，若u不是v的出边邻接点，则u,v权值为∞。
b.从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。
c.以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。
d.重复步骤b和c直到所有顶点都包含在S中。
执行动画过程如下图
3.算法代码实现：
复制代码
const int MAXINT = 32767;
const int MAXNUM = 10;
int dist[MAXNUM];
int prev[MAXNUM];
int A[MAXUNM][MAXNUM];
void Dijkstra(int v0)
{
bool S[MAXNUM]; // 判断是否已存入该点到S集合中
int n=MAXNUM;
for(int i=1; i=n; ++i)
{
dist[i] = A[v0][i];
S[i] = false; // 初始都未用过该点
if(dist[i] == MAXINT)
prev[i] = -1;
else
prev[i] = v0;
}
dist[v0] = 0;
S[v0] = true;
for(int i=2; i=n; i++)
{
int mindist = MAXINT;
int u = v0; // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
for(int j=1; j=n; ++j)
if((!S[j]) dist[j]mindist)
{
u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
mindist = dist[j];
}
S[u] = true;
for(int j=1; j=n; j++)
if((!S[j]) A[u][j]MAXINT)
{
if(dist[u] + A[u][j] dist[j]) //在通过新加入的u点路径找到离v0点更短的路径
{
dist[j] = dist[u] + A[u][j]; //更新dist
prev[j] = u; //记录前驱顶点
}
}
}
}
#includestdio.h
#includeiostream
#includestring.h
#includemalloc.h
#includestdlib.h
#includestring
using namespace std;
#define OVERFLOW -2
#define OK 1
#define ERROR 0
#define INFINITY 200//最大值
#define MAX_VERTEX_NUM 20//最大顶点个数
typedef char VertexType;//定义为char类型
//以下是全局变量,用于保存弗洛伊德算法的路径和长度
int D[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];//记录最短路径长度
int P[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];//记录最短路径标记
//以下是全局变量,用于保存迪杰斯特拉算法的路径和长度
int Distance[MAX_VERTEX_NUM];
VertexType former[MAX_VERTEX_NUM];//终点的前一个顶点
bool final[MAX_VERTEX_NUM];//记录顶点是否在V-S中
typedef struct ArcCell
{
int adj; //顶点关系类型
int weight; //该弧相关信息的指针,在此记录为权值
}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];
typedef struct
{
VertexType vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //顶点向量
AdjMatrix arcs; //邻接矩阵
int vexnum; //顶点数
int arcnum; //弧数
}MGraph;
void InitialMGraph(MGraph G)//初始化
{
G.arcnum=G.vexnum=0; //初始化边数跟顶点数都为零
for(int i=0;iMAX_VERTEX_NUM;i++)
for(int j=0;jMAX_VERTEX_NUM;j++)
{
if(i==j)
G.arcs[i][j].weight=0;
else
G.arcs[i][j].weight=INFINITY; //初始化为200,以200认为是无穷大
}
}
void InsertVex(MGraph G,VertexType v)//插入顶点
{
if(G.vexnum=MAX_VERTEX_NUM)
G.vexs[G.vexnum++]=v;
}
void InsertArc(MGraph G,VertexType v1,VertexType v2)//插入边
{
int m,n;
G.arcnum++;
for(int k=0;kG.vexnum;k++)
{
if(G.vexs[k]==v1)
m=k;
if(G.vexs[k]==v2)
n=k;
}
//插入
ArcCell A;
cout"请输入权值:";
cinA.weight;
G.arcs[m][n].weight=A.weight;
}
//迪杰斯特拉最短路径,假设始点就存储在数组中的第一个
void ShortestPath_DIJ(MGraph G,int v0)
{
//初始化距离
for(int v=0;vG.vexnum;++v)
{
final[v]=false;
Distance[v]=G.arcs[v0][v].weight;
if(Distance[v]INFINITYDistance[v]!=0)
{
former[v]=G.vexs[v0];
}
else
former[v]='#';
}
final[v0]=true;
former[v0]=G.vexs[v0];
for(int i=1;iG.vexnum;++i)//剩余的G.vexnum-1个顶点
{
int w;
int min=INFINITY;
int v=-1;
for(w=0;wG.vexnum;++w)
{
if(!final[w]Distance[w]min)
{
v=w;
min=Distance[w];
}
}
if(v!=-1)
{
final[v]=true;//将离顶点V0最近的顶点v加入S集合中
for(w=0;wG.vexnum;++w)//更新当前的最短路径及距离
{
if(!final[w](min+G.arcs[v][w].weightDistance[w])G.arcs[v][w].weightINFINITY)
{
Distance[w]=min+G.arcs[v][w].weight;
former[w]=G.vexs[v];
}
}
}
}
}
//输出迪杰斯特拉中的最短路径
void output_ShortestPath_DIJ(MGraph G,int v0)
{
int i;
for(i=1;iG.vexnum;i++)
{
coutG.vexs[v0]"-"G.vexs[i]":";
if(Distance[i]!=INFINITY)
{
cout"最短路径长度为:"Distance[i]" 最短路径的前一个顶点为:"former[i];
coutendl;
}
else
cout"此两顶点之间不存在路径"endl;
}
}
//弗洛伊德最短路径
void shortestPath_FLOYD(MGraph G)
{
for(int v=0;vG.vexnum;++v)
{
for(int w=0;wG.vexnum;++w)
{
D[v][w]=G.arcs[v][w].weight;
for (int k=0;k G.vexnum;k++)
P[v][w][k]=-1;
if(D[v][w]INFINITY) //从v到w有直接路径
P[v][w][v]=w;
}
}
for(int k=0;kG.vexnum;++k)
{
for(int v=0;vG.vexnum;v++)
for(int w=0;wG.vexnum;++w)
if(D[v][w]D[v][k]+D[k][w])
{
D[v][w]=D[v][k]+D[k][w];
for(int i=0;iG.vexnum;i++)
{
if(P[v][k][i]!=-1)//原来存了顶点
P[v][w][i]=P[v][k][i];
else
P[v][w][i]=P[k][w][i];
}
}
}
}
//输出弗洛伊德中的最短路径
void output_shortestPath_FLOYD(MGraph G)
{
for(int i=0;iG.vexnum;++i)
{
for(int j=0;jG.vexnum;++j)
{
if(i!=j)//自己不能到达自己
{
coutG.vexs[i]"-"G.vexs[j]":";
if(D[i][j]==INFINITY)
{
cout"此两顶点之间不存在路径"endl;
}
else
{
cout"最短路径长度为:"" "D[i][j]" ";
cout"最短路径为:";
coutG.vexs[i];
for(int k=i;k!=-1;k=P[i][j][k])
{
if(k!=i)
coutG.vexs[k];
}
coutendl;
}
}
}
}
}
int main()
{
int num1;//顶点个数
int num2;//弧个数
cout"请输入顶点个数:";
cinnum1;
cout"请输入弧个数:";
cinnum2;
VertexType v;
MGraph G;
InitialMGraph(G);
cout"请输入顶点的信息:"endl;
for(int i=0;inum1;++i)
{
cinv;;
InsertVex(G,v);
}
VertexType v1,v2;
for(int j=0;jnum2;++j)
{
cout"请输入两个结点数据来表示的边:";
cinv1v2;
InsertArc(G,v1,v2);
}
ShortestPath_DIJ(G,0);
cout"迪杰斯特拉中的最短路径如下:"endl;
output_ShortestPath_DIJ(G,0);
coutendlendl;
shortestPath_FLOYD(G);
cout"弗洛伊德中的最短路径如下:"endl;
output_shortestPath_FLOYD(G);
return 0;
}
package minRoad.no;
import java.util.Arrays;
//这个程序用来求得一个图的最短路径矩阵
public class ShortestDistance_V4 {
private static final int inf = Integer.MAX_VALUE;// 表示两个点之间无法直接连通
public static int[][] dijkstra(int[][] graph) {
int min, v, u = 0, n = graph.length;
int[] path = new int[n];
int[] dist = new int[n];
boolean[] s = new boolean[n];
Arrays.fill(s, false);
Arrays.fill(dist, inf);
for (int i = 0; i n; i++) {
dist[i] = graph[u][i];
if (i != u dist[i] inf)
path[i] = u;
else
path[i] = -1;
}
s[u] = true;
while (true) {
min = inf;
v = -1;
// 找到最小的dist
for (int i = 0; i n; i++) {
if (!s[i]) {
if (dist[i] min) {
min = dist[i];
v = i;
}
}
}
if (v == -1) break;// 找不到更短的路径了
// 更新最短路径
s[v] = true;
for (int i = 0; i n; i++) {
if (!s[i] graph[v][i] != inf dist[v] + graph[v][i] dist[i]) {
dist[i] = dist[v] + graph[v][i];
path[i] = v;
}
}
}
// 输出路径
int[] shortest = new int[n];
for (int i = 1; i n; i++) {
Arrays.fill(shortest, 0);
int k = 0;
shortest[k] = i;
while (path[shortest[k]] != 0) {
k++;
shortest[k] = path[shortest[k - 1]];
}
k++;
shortest[k] = 0;
}
int[] tmp = new int[shortest.length];
for (int i = 0; i tmp.length; i++) {
tmp[i] = shortest[tmp.length - i - 1];
}
return new int[][] { dist, tmp };
}
/**
* pre
* v0
* 1, v1
* 4, 2, v2
* inf, 7, -1, v3
* inf, 5, 1, 3, v4
* inf, inf, inf, 2, 6, v5
* /pre
*
* *
*
* pre
* A--------30-------D
* |\ ∧|
* | \ / |
* | \ / |
* | 10 10 |
* | \ / 20
* | \ / |
* | \ / |
* | ∨ / ∨
* 20 B E
* | / ∧
* | / /
* | / /
* | 5 /
* | / 30
* | / /
* | / /
* ∨∠ /
* C
* /pre
*
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
int[][] W1 = {
{ 0, 10, 20, 30, inf },
{ 10, 0, 5, 10, inf },
{ 20, 5, 0, inf, 30 },
{ 30, 10, inf, 0, 20 },
{ inf, inf, 30, 20, 0 },
};
//
//
// int[][] W = {
// { 0, 1, 4, inf, inf, inf },
// { 1, 0, 2, 7, 5, inf },
// { 4, 2, 0, inf, 1, inf },
// { inf, 7, inf, 0, 3, 2 },
// { inf, 5, 1, 3, 0, 6 },
// { inf, inf, inf, 2, 6, 0 }};
int[][] distAndShort = dijkstra(W1);
System.out.println(Arrays.toString(distAndShort[0]));
System.out.println(Arrays.toString(distAndShort[1]));
// distance: { 0, 1, 3, 7, 4, 9};
}
}